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이것도 숙제하다가 문득 든 생각인데요-_-;; 2번요.
이 문제에 한해서만 해당되는 것일지는 잘 모르겠지만,
열 엔트로피의 수식과 배열 엔트로피의 수식의 관계에 대해 생각해봅시다.
우선 열 엔트로피. 1mol의 이상기체를 생각합시다.
dU = TdS - PdV
TdS = dU + PdV
dS = dU/ T + (P/ T)dV
여기서 P/ T = nR / V 이므로
dS = dU/ T + (nR / V)dV
모든 경우에서 내부에너지, 온도, 압력의 변화는 없으니까
dU = 0
∴ dS = (nR / V)dV
양 변을 적분하면 ΔS = nR ln V (R은 ideal gas const., T는 일정하므로 상수)
∴ ΔS = nα ln V (α = const.)
V가 gas particle의 크기보다 훨씬 크고(gas는 almost free)
그 개수가 매우 많으면(above Abogadro Numbers)
우리가 생각할 수 있는 가장 이상적이고 관측확률이 높은 Distribution Ensemble average는
gas particle들이 미세부피에 대해 구분할 수 없을 정도로 매우 고르게 퍼져있는 상태일 것이므로
이 식에서의 V의 의미는 부피 V 내에 gas particle들이 이렇게 고르게 분포되어 있을 경우의 수,
즉 분포개수의 개념으로 생각해도 무리가 없을 듯 합니다.
(예 : 2mol 이상기체가 2V만큼의 용기에서 4V만큼 팽창했을 때 엔트로피 변화는
ΔS = S_4v - S_2v = 2α ln (4V / 2V) = 2α ln 2 , >0이므로 엔트로피 증가, 자발적 )
이렇게 유도된 식은 분명 열엔트로피(여기서 열은 단순히 "열"의 의미라기보다는
macrostate에서 따져볼 수 있다는 의미에 가깝겠죠. 부피나 압력의 변화 등도 포함하는.)
그런데 생김새가 배열엔트로피인 S = k ln Ω 와 똑같네요.
여기서 k는 온도(k=1/βT) 혹은 기체상수(k=nR/N)와 관계된 상수라는 점에서 α와 닮았고
Ω도 마찬가지로 배열수이니까 경우의 수의 개념이잖아요.
결국 두 식의 유도과정은 다르지만, 그 결과가 같고, state fn 이란 점에서,
이 문제는 저 식 하나로 다 해결할 수 있는거 아닌가요?
근본적으로 열 엔트로피와 배열 엔트로피가 다른 개념이 아니라는 것을 얘기하고 싶은데,
어떻게들 생각하세요?
이 문제에 한해서만 해당되는 것일지는 잘 모르겠지만,
열 엔트로피의 수식과 배열 엔트로피의 수식의 관계에 대해 생각해봅시다.
우선 열 엔트로피. 1mol의 이상기체를 생각합시다.
dU = TdS - PdV
TdS = dU + PdV
dS = dU/ T + (P/ T)dV
여기서 P/ T = nR / V 이므로
dS = dU/ T + (nR / V)dV
모든 경우에서 내부에너지, 온도, 압력의 변화는 없으니까
dU = 0
∴ dS = (nR / V)dV
양 변을 적분하면 ΔS = nR ln V (R은 ideal gas const., T는 일정하므로 상수)
∴ ΔS = nα ln V (α = const.)
V가 gas particle의 크기보다 훨씬 크고(gas는 almost free)
그 개수가 매우 많으면(above Abogadro Numbers)
우리가 생각할 수 있는 가장 이상적이고 관측확률이 높은 Distribution Ensemble average는
gas particle들이 미세부피에 대해 구분할 수 없을 정도로 매우 고르게 퍼져있는 상태일 것이므로
이 식에서의 V의 의미는 부피 V 내에 gas particle들이 이렇게 고르게 분포되어 있을 경우의 수,
즉 분포개수의 개념으로 생각해도 무리가 없을 듯 합니다.
(예 : 2mol 이상기체가 2V만큼의 용기에서 4V만큼 팽창했을 때 엔트로피 변화는
ΔS = S_4v - S_2v = 2α ln (4V / 2V) = 2α ln 2 , >0이므로 엔트로피 증가, 자발적 )
이렇게 유도된 식은 분명 열엔트로피(여기서 열은 단순히 "열"의 의미라기보다는
macrostate에서 따져볼 수 있다는 의미에 가깝겠죠. 부피나 압력의 변화 등도 포함하는.)
그런데 생김새가 배열엔트로피인 S = k ln Ω 와 똑같네요.
여기서 k는 온도(k=1/βT) 혹은 기체상수(k=nR/N)와 관계된 상수라는 점에서 α와 닮았고
Ω도 마찬가지로 배열수이니까 경우의 수의 개념이잖아요.
결국 두 식의 유도과정은 다르지만, 그 결과가 같고, state fn 이란 점에서,
이 문제는 저 식 하나로 다 해결할 수 있는거 아닌가요?
근본적으로 열 엔트로피와 배열 엔트로피가 다른 개념이 아니라는 것을 얘기하고 싶은데,
어떻게들 생각하세요?
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그렇군요.
그래서 제가 쓴 말 중에 "이 문제에 한해서만 해당되는 것일지는 잘 모르겠지만,"
이라는 말이 맞는거군요.
근데, 웬지 느낌은 이 문제가 아니더라도 될 것 같은데요? ㅎㅎㅎ -
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뭔가 이상한데요;; P/T=nRT/V가 어떻게 나온것인지??;;;
P/T=nR/V가 되야할꺼같은데요? -
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교재에서도, S(th) = k ln W(th) 라는 표현을 쓰고 있네요.(82page 아래)
일반적으로 성립할 것 같습니다. -
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그리고 승우 형 얘기는 맞는 듯, 하네요. 그러나 ΔS = nα ln V (α = const.)
의 결론은 바르게 도출된 것 같습니다. -
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위의 태클은 큰 흐름에는 별 지장을 안주는군요...ㅎㅎ 허허 참.. 우선 하나의 macrostate가 결정되면 그 state에서는 에너지적으로 equilibrium상태(U결정,P결정,T결정)가 되기때문에 열엔트로피를 고려하는게 의미가 있나요? 허허허 참 어쨋든 신기합니다
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아-ㅅ- 수정할게요;;
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그리고, 제 말의 뜻은,
배열엔트로피건 열엔트로피건 간에 하나의 식으로 설명할 수 있다는겁니다.
(아직까진 V만 변하고 나머지는 고정된 케이스에 한해서이며,
열엔트로피의 경우 V에 약간의 의미부여 필요)
이게 general하게, 즉 다른 변수가 있을 때도 쓸 수 있다고 증명되면 유용하지 않을까요?
어쨌든 적어도 이번 숙제 문제 2번에서는, 답을 무지 쉽게 구할 수 있겠지요.
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그런데 가정하신 조건이 U,T,P constant 인 조건으로 하셨는뎅, 이때는 Q = W 가기 때문에 우연히도 열이 부피에 관한 함수로만 되기 때문에 결론이 도출된것 같습니다.
state fn 이긴 해도, 저 조건을 사용하려면 가역이든 비가역이든 처음과 끝의 state 가 volume difference 만 존재해야 됩니다 :)
좀더 general 하게 증명하려면 매우 복잡해지겠네요~~